एक कण वक्र frac{x^2}{16} + frac{y^2}{4} = 1 क | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$. दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{16} \frac{dx}{dt} + \frac{2y}

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$II$ या $IV$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$. दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{2x}{16} \frac{dx}{dt} + \frac{2y}{4} \frac{dy}{dt} = 0$. $\frac{x}{8} \frac{dx}{dt} + \frac{y}{2} \frac{dy}{dt} = 0$. दिया गया है कि भुज के परिवर्तन की दर $(\frac{dx}{dt})$ कोटि के परिवर्तन की दर $(\frac{dy}{dt})$ की $4$ गुनी है,अर्थात $\frac{dx}{dt} = 4 \frac{dy}{dt}$. इस मान को अवकलित समीकरण में रखने पर: $\frac{x}{8} (4 \frac{dy}{dt}) + \frac{y}{2} \frac{dy}{dt} = 0$. $(\frac{x}{2} + \frac{y}{2}) \frac{dy}{dt} = 0$. चूँकि $\frac{dy}{dt} 
eq 0$,इसलिए $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 0$,जिसका अर्थ है $x = -y$. $x = -y$ को मूल वक्र समीकरण में रखने पर: $\frac{(-y)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$. $\frac{y^2}{16} + \frac{4y^2}{16} = 1 \Rightarrow \frac{5y^2}{16} = 1 \Rightarrow y^2 = \frac{16}{5}$. अतः,$y = \pm \frac{4}{\sqrt{5}}$. चूँकि $x = -y$,यदि $y = \frac{4}{\sqrt{5}}$,तो $x = -\frac{4}{\sqrt{5}}$ (द्वितीय चतुर्थांश). यदि $y = -\frac{4}{\sqrt{5}}$,तो $x = \frac{4}{\sqrt{5}}$ (चतुर्थ चतुर्थांश). अतः,कण $II$ या $IV$ चतुर्थांश में स्थित है.

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