frac{1}{4}-frac{5}{4 cdot 8}+frac{5 cdot 9}{4 | vedclass

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Question

(C) माना दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots$ है।यह द्विपद श्रेणी $(1+x)^{-n} = 1 - nx

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$\frac{2^{\frac{1}{4}}-1}{2^{\frac{1}{4}}}$

Vedclass · Answer

(C) माना दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots$ है।यह द्विपद श्रेणी $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ के रूप में है।हम श्रेणी को $S = 1 - [1 - \frac{1}{4} + \frac{1 \cdot 5}{2! \cdot 4^2} - \frac{1 \cdot 5 \cdot 9}{3! \cdot 4^3} + \ldots]$ के रूप में लिख सकते हैं।कोष्ठक के अंदर के पदों की तुलना द्विपद विस्तार $(1+x)^{-n}$ से करने पर,हमें $nx = \frac{1}{4}$ और $n = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 1$।अतः,कोष्ठक के अंदर की श्रेणी $(1+1)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{4}}$ है।इसलिए,$S = 1 - 2^{-\frac{1}{4}} = 1 - \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}} = \frac{2^{\frac{1}{4}}-1}{2^{\frac{1}{4}}}$।

$\frac{1}{4}-\frac{5}{4 \cdot 8}+\frac{5 \cdot 9}{4 \cdot 8 \cdot 12}-\ldots=$

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