P એ વર્તુળો S equiv x^2+y^2-6x+2ky+1=0 અને S' | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે વર્તુળો $S=0$ અને $S'=0$ ના કેન્દ્રો અનુક્રમે $C$ અને $C'$ છે.$S \equiv x^2+y^2-6x+2ky+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C = (3, -k)$ અને ત્રિજ્યા $r = \

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sqrt{65}}{2}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે વર્તુળો $S=0$ અને $S'=0$ ના કેન્દ્રો અનુક્રમે $C$ અને $C'$ છે.$S \equiv x^2+y^2-6x+2ky+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C = (3, -k)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{3^2+(-k)^2-1} = \sqrt{8+k^2}$.$S' \equiv x^2+y^2+2kx-6y-7=0$ માટે,કેન્દ્ર $C' = (-k, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r' = \sqrt{(-k)^2+3^2-(-7)} = \sqrt{k^2+16}$.$S=0$ ને $P$ આગળનો સ્પર્શક $C'$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $CP \perp C'P$. તેવી જ રીતે,$S'=0$ ને $P$ આગળનો સ્પર્શક $C$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $C'P \perp CP$.આમ,$	riangle CPC'$ એ $P$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,જ્યાં $CP = r$ અને $C'P = r'$.પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$CP^2 + C'P^2 = CC'^2$.$r^2 + r'^2 = (3 - (-k))^2 + (-k - 3)^2$.$(8+k^2) + (k^2+16) = (3+k)^2 + (-(k+3))^2$.$2k^2 + 24 = 2(k+3)^2 = 2(k^2+6k+9) = 2k^2+12k+18$.$24 = 12k + 18$ $\Rightarrow 12k = 6$ $\Rightarrow k = \frac{1}{2}$.$S'=0$ ની ત્રિજ્યા $r' = \sqrt{k^2+16} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2+16} = \sqrt{\frac{1}{4}+16} = \sqrt{\frac{65}{4}} = \frac{\sqrt{65}}{2}$.

Similar Questions

બે વર્તુળો $x^2+y^2-8x+2y=0$ અને $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5$ ના બિંદુ $(1, -2)$ આગળનો સ્પર્શક,વર્તુળ $x^2 + y^2 - 8x + 6y + 20 = 0$ ને કઈ રીતે છેદે છે?

વર્તુળોની સહ-અક્ષીય પ્રણાલી $x^2 + y^2 + 2gx + c = 0$ માં,જ્યાં $g$ એક પ્રાચલ (parameter) છે,જો $c > 0$ હોય,તો વર્તુળો કેવા પ્રકારના છે?

જો વર્તુળ $x^2+y^2+4x-6y+c=0$ એ વર્તુળ $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ ના પરિઘને દુભાગતું હોય,તો $c$ ની કિંમત શોધો.

વર્તૂળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + \alpha = 0$ પરના કોઈપણ બિંદુ પરથી વર્તૂળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + \beta = 0$ પર દોરેલ સ્પર્શકની લંબાઈ :

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module