दिए गए आयतन वाले एक बंद बेलन का पृष्ठीय क्षेत | vedclass

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Question

(A) माना कि बंद बेलन की ऊँचाई $h$ है और आधार की त्रिज्या $r$ है। बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ है,जिसका अर्थ है $h = \frac{V}{\pi r^2}$। बंद बेलन का कु

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$2 : 1$

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(A) माना कि बंद बेलन की ऊँचाई $h$ है और आधार की त्रिज्या $r$ है। बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ है,जिसका अर्थ है $h = \frac{V}{\pi r^2}$। बंद बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$ है। पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में $h$ का मान रखने पर: $S = 2 \pi r (\frac{V}{\pi r^2}) + 2 \pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2 \pi r^2$। न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $S$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dS}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 4 \pi r = 0$। इससे हमें $4 \pi r = \frac{2V}{r^2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $V = 2 \pi r^3$। इस समीकरण में $V = \pi r^2 h$ रखने पर: $\pi r^2 h = 2 \pi r^3$। दोनों पक्षों को $\pi r^2$ से विभाजित करने पर,हमें $h = 2r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि अनुपात $h : r = 2 : 1$ है।

दिए गए आयतन वाले एक बंद बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम होगा जब उसकी ऊँचाई और आधार की त्रिज्या का अनुपात है:

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