int frac{operatorname{cosec}^2 x-2022}{cos ^{ | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x - 2022}{\cos^{2022} x} dx$.हम समाकलन को $I = \int \cos^{-2022} x \operatorname{cosec}^2 x dx - 2022

Vedclass · Accepted Answer

$-2^{1011}$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{\operatorname{cosec}^2 x - 2022}{\cos^{2022} x} dx$.हम समाकलन को $I = \int \cos^{-2022} x \operatorname{cosec}^2 x dx - 2022 \int \sec^{2022} x dx$ के रूप में लिख सकते हैं।प्रथम पद पर खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \cos^{-2022} x$ और $dv = \operatorname{cosec}^2 x dx$ लें।तब $du = -2022 \cos^{-2023} x (-\sin x) dx = 2022 \cos^{-2023} x \sin x dx$ और $v = -\cot x$ प्राप्त होता है।सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ लागू करने पर:$I = \cos^{-2022} x (-\cot x) - \int (-\cot x) (2022 \cos^{-2023} x \sin x) dx - 2022 \int \sec^{2022} x dx$.चूंकि $\cot x \sin x = \cos x$,समाकलन इस प्रकार हो जाता है:$I = -\frac{\cot x}{\cos^{2022} x} + 2022 \int \frac{\cos x}{\cos^{2023} x} dx - 2022 \int \sec^{2022} x dx$.$I = -\frac{\cot x}{\cos^{2022} x} + 2022 \int \sec^{2022} x dx - 2022 \int \sec^{2022} x dx + C$.$I = -\frac{\cot x}{\cos^{2022} x} + C$.अतः,$f(x) = -\frac{\cot x}{\cos^{2022} x}$.$x = \pi/4$ पर मान ज्ञात करने पर: $f(\pi/4) = -\frac{\cot(\pi/4)}{\cos^{2022}(\pi/4)} = -\frac{1}{(1/\sqrt{2})^{2022}} = -\frac{1}{(1/2)^{1011}} = -2^{1011}$.

$\int \frac{\operatorname{cosec}^2 x-2022}{\cos ^{2022} x} d x=f(x)+C \Rightarrow f(\pi / 4)=$

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$x > 0$ के लिए,यदि $\int (\log x)^5 dx = x[A(\log x)^5 + B(\log x)^4 + C(\log x)^3 + D(\log x)^2 + E(\log x) + F] + \text{constant}$ है,तो $A + B + C + D + E + F$ का मान ज्ञात कीजिए।

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