int cos ^{-1}left(sqrt{frac{x}{a+x}}right) d | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\int \cos ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x = f(x) + C$. कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,समाकलन का अवकलज समाकल्य होता है: $f^{\prime}(

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$\frac{\pi}{4}$

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(D) दिया गया है कि $\int \cos ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x = f(x) + C$. कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,समाकलन का अवकलज समाकल्य होता है: $f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \int \cos ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}} d x = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{x}{a+x}}$. अब,हमें $f^{\prime}(a)$ ज्ञात करना है। $f^{\prime}(x)$ के व्यंजक में $x = a$ प्रतिस्थापित करने पर: $f^{\prime}(a) = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{a}{a+a}} = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{a}{2a}}$. वर्गमूल के अंदर के भिन्न को सरल करने पर: $f^{\prime}(a) = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{1}{2}} = \cos ^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$. चूंकि $\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए: $f^{\prime}(a) = \frac{\pi}{4}$.

$\int \cos ^{-1}\left(\sqrt{\frac{x}{a+x}}\right) d x=f(x)+C \Rightarrow f^{\prime}(a)=$

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यदि $\int \sqrt{1 + \sin x} \, dx = -4 \cos(ax + b) + c$ है, तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः हैं:

$\int \frac{\sin^3(x) + \cos^3(x)}{\sin^2(x) \cdot \cos^2(x)} \, dx = $

$\int \frac{d x}{x^{2}+4 x+13} = $

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