int(log x)^2 x^3 d x=frac{x^4}{32} f(x)+C Rig | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int (\log x)^2 x^3 dx$.ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$.ધારો કે

Vedclass · Accepted Answer

$8(\log x)^2-4 \log x+1$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int (\log x)^2 x^3 dx$.ખંડશઃ સંકલન (Integration by parts) નો ઉપયોગ કરતા,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$.ધારો કે $u = (\log x)^2$ અને $v = x^3$. તેથી $u' = \frac{2 \log x}{x}$ અને $\int v dx = \frac{x^4}{4}$.$I = (\log x)^2 \frac{x^4}{4} - \int \frac{2 \log x}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx$$I = \frac{x^4}{4} (\log x)^2 - \frac{1}{2} \int x^3 \log x dx$.હવે,$\int x^3 \log x dx$ ની કિંમત શોધવા ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = \log x$ અને $v = x^3$.$\int x^3 \log x dx = (\log x) \frac{x^4}{4} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx$$= \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16}$.આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:$I = \frac{x^4}{4} (\log x)^2 - \frac{1}{2} \left( \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16} \right) + C$$I = \frac{x^4}{4} (\log x)^2 - \frac{x^4 \log x}{8} + \frac{x^4}{32} + C$$\frac{x^4}{32}$ સામાન્ય લેતા:$I = \frac{x^4}{32} \left( 8(\log x)^2 - 4 \log x + 1 \right) + C$.આને $\frac{x^4}{32} f(x) + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = 8(\log x)^2 - 4 \log x + 1$ મળે છે.

$\int(\log x)^2 x^3 d x=\frac{x^4}{32} f(x)+C \Rightarrow f(x)=$

Similar Questions

$\int \frac{\log x}{(1+x)^3} d x=$

જો $I_m = \int x^m \cos n x \, dx = g(x) - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$ હોય, તો $g(x) = $

સંકલન $\int \sin(\log x) dx$ ની કિંમત શોધો.

$ \int x^{3} \sin 3 x \, dx = $

$\int \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module