int(log x)^2 x^3 d x=frac{x^4}{32} f(x)+C Rig | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int (\log x)^2 x^3 dx$.खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$.माना

Vedclass · Accepted Answer

$8(\log x)^2-4 \log x+1$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int (\log x)^2 x^3 dx$.खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$.माना $u = (\log x)^2$ और $v = x^3$. तब $u' = \frac{2 \log x}{x}$ और $\int v dx = \frac{x^4}{4}$.$I = (\log x)^2 \frac{x^4}{4} - \int \frac{2 \log x}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx$$I = \frac{x^4}{4} (\log x)^2 - \frac{1}{2} \int x^3 \log x dx$.अब,$\int x^3 \log x dx$ का मान ज्ञात करने के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = \log x$ और $v = x^3$.$\int x^3 \log x dx = (\log x) \frac{x^4}{4} - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4} dx$$= \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16}$.इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \frac{x^4}{4} (\log x)^2 - \frac{1}{2} \left( \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16} \right) + C$$I = \frac{x^4}{4} (\log x)^2 - \frac{x^4 \log x}{8} + \frac{x^4}{32} + C$$\frac{x^4}{32}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:$I = \frac{x^4}{32} \left( 8(\log x)^2 - 4 \log x + 1 \right) + C$.इसे $\frac{x^4}{32} f(x) + C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $f(x) = 8(\log x)^2 - 4 \log x + 1$ प्राप्त होता है।

$\int(\log x)^2 x^3 d x=\frac{x^4}{32} f(x)+C \Rightarrow f(x)=$

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