int_{-pi}^pi frac{x sin ^3 x}{4-cos ^2 x} d x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$. અહીં $f(x) = \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x}$ એ યુગ્મ વિધેય છે (કારણ કે $f(-x)

Vedclass · Accepted Answer

$2 \pi\left(1-\frac{3}{4} \log 3\right)$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$. અહીં $f(x) = \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x}$ એ યુગ્મ વિધેય છે (કારણ કે $f(-x) = f(x)$),તેથી: $I = 2 \int_0^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$ ....$(i)$ ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા: $I = 2 \int_0^\pi \frac{(\pi-x) \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x$ ....(ii) $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $2I = 2 \pi \int_0^\pi \frac{\sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x \Rightarrow I = \pi \int_0^\pi \frac{(1-\cos^2 x) \sin x}{4-\cos ^2 x} d x$. ધારો કે $\cos x = t$,તો $-\sin x dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=1$; જ્યારે $x=\pi, t=-1$. $I = -\pi \int_1^{-1} \frac{1-t^2}{4-t^2} dt = 2\pi \int_0^1 \frac{1-t^2}{4-t^2} dt$. $I = 2\pi \int_0^1 (1 - \frac{3}{4-t^2}) dt = 2\pi [t - \frac{3}{4} \log |\frac{2+t}{2-t}|]_0^1 = 2\pi [1 - \frac{3}{4} \log 3]$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin ^3 x}{4-\cos ^2 x} d x=$

Similar Questions

$\int_{-1}^{1} \sin^3 x \cos^2 x \, dx = $

$I = \int\limits_0^1 \sqrt[3]{2x^3 - 3x^2 - x + 1} \, dx$ ની કિંમત શોધો.

જો શૂન્યતર $x$ માટે,$af(x) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 5,$ જ્યાં $a \ne b,$ હોય,તો $\int_1^2 {f(x)\,dx = } $

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1+\tan^3 x}$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $I = \int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1 - \cos 2x} \, dx$, તો

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module