int_{-pi}^pi frac{2 x(1+sin x)}{1+cos ^2 x} d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x(1+\sin x)}{1+\cos^2 x} dx$.આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x

Vedclass · Accepted Answer

$\pi^2$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x(1+\sin x)}{1+\cos^2 x} dx$.આ સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:$I = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx + \int_{-\pi}^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = I_1 + I_2$.$I_1 = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x}{1+\cos^2 x} dx$ માટે,ધારો કે $f(x) = \frac{2x}{1+\cos^2 x}$.કારણ કે $f(-x) = \frac{2(-x)}{1+\cos^2(-x)} = -\frac{2x}{1+\cos^2 x} = -f(x)$,તેથી $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.તેથી,$I_1 = 0$.$I_2 = \int_{-\pi}^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$ માટે,ધારો કે $g(x) = \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x}$.કારણ કે $g(-x) = \frac{2(-x)\sin(-x)}{1+\cos^2(-x)} = \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} = g(x)$,તેથી $g(x)$ એ યુગ્મ વિધેય છે.તેથી,$I_2 = 2 \int_0^\pi \frac{2x\sin x}{1+\cos^2 x} dx = 4 \int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.ગુણધર્મ $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:$I_2 = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin(\pi-x)}{1+\cos^2(\pi-x)} dx = 4 \int_0^\pi \frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.$I_2$ માટેના બંને પદોનો સરવાળો કરતા:$2I_2 = 4 \int_0^\pi \frac{\pi\sin x}{1+\cos^2 x} dx = 4\pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx$.ધારો કે $u = \cos x$,તો $du = -\sin x dx$.જ્યારે $x=0, u=1$; જ્યારે $x=\pi, u=-1$.$2I_2 = 4\pi \int_1^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = 4\pi \int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2} = 4\pi [	an^{-1} u]_{-1}^1$.$2I_2 = 4\pi (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = 4\pi (\frac{\pi}{2}) = 2\pi^2$.આમ,$I_2 = \pi^2$.અંતે,$I = I_1 + I_2 = 0 + \pi^2 = \pi^2$.

$\int_{-\pi}^\pi \frac{2 x(1+\sin x)}{1+\cos ^2 x} d x=$

Similar Questions

સંકલન $\int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x+\frac{\pi}{4}}{2-\cos 2 x} d x$ નું મૂલ્ય શોધો :

$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos^2 x}{1 + a^x} dx, a > 0$ નું મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે $I = \int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\sin x}{x} dx$. તો

ધારો કે $\int_{-2}^{2} (|\sin x| + [x \sin x]) dx = 2(3 - \cos 2) + \beta$, જ્યાં $[\cdot]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે. તો $\beta \sin(\frac{\beta}{2})$ ની કિંમત શોધો:

$\int_{0}^{\sqrt{3}} (x+4)^2 e^{x^2} dx + \int_{\sqrt{3}}^{0} (x-4)^2 e^{x^2} dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module