$A, B, C, D$ એ કોઈપણ $4$ બિંદુઓ છે અને $|\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{AD} + \overline{CA} \times \overline{BD}| = \lambda$ ($\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ) હોય,તો $\lambda = $

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ત્રણ પરસ્પર લંબ સદિશો છે અને સમાન માન ધરાવે છે. જો સદિશ $\vec{r}$ એ $\vec{a} \times \{(\vec{r}-\vec{b}) \times \vec{a}\} + \vec{b} \times \{(\vec{r}-\vec{c}) \times \vec{b}\} + \vec{c} \times \{(\vec{r}-\vec{a}) \times \vec{c}\} = \vec{0}$ નું સમાધાન કરે,તો $\vec{r}$ બરાબર શું થાય?

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેની પાસપાસેની બાજુઓ સદિશો $i + 2j + 3k$ અને $-3i - 2j + k$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે (ચોરસ એકમમાં).

ધારો કે સદિશો $\overline{PQ}, \overline{QR}, \overline{RS}, \overline{ST}, \overline{TU}$ અને $\overline{UP}$ એ એક નિયમિત ષટ્કોણની બાજુઓ દર્શાવે છે.
$\text{વિધાન}-1$: $\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) \neq \overrightarrow{0}$.
$\text{વિધાન}-2$: $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \overrightarrow{0}$ અને $\overline{PQ} \times \overline{ST} \neq \overrightarrow{0}$.

ધારો કે $F=2 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}$,$A=(1,2,5)$,$B=(-1,-2,-3)$ અને $BA \times F=4 \hat{i}+6 \hat{j}+2 \lambda \hat{k}$ હોય,તો $\lambda=$

જો $\alpha$ એ બે સદિશો $p = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$ અને $q = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\sin(\alpha) = $