A, B, C, D कोई भी 4 बिंदु हैं और |overline{AB | vedclass

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Question

(D) माना बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।हम जानते हैं कि $	riangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{

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$4$

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(D) माना बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।हम जानते हैं कि $	riangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{b} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{a}|$.माना $V = |\overline{AB} 	imes \overline{CD} + \overline{BC} 	imes \overline{AD} + \overline{CA} 	imes \overline{BD}|$.सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\overline{AB} = \vec{b} - \vec{a}$,$\overline{CD} = \vec{d} - \vec{c}$,$\overline{BC} = \vec{c} - \vec{b}$,$\overline{AD} = \vec{d} - \vec{a}$,$\overline{CA} = \vec{a} - \vec{c}$,$\overline{BD} = \vec{d} - \vec{b}$.क्रॉस गुणन का विस्तार करने पर:$V = |(\vec{b}-\vec{a}) 	imes (\vec{d}-\vec{c}) + (\vec{c}-\vec{b}) 	imes (\vec{d}-\vec{a}) + (\vec{a}-\vec{c}) 	imes (\vec{d}-\vec{b})|$.$V = |(\vec{b} 	imes \vec{d} - \vec{b} 	imes \vec{c} - \vec{a} 	imes \vec{d} + \vec{a} 	imes \vec{c}) + (\vec{c} 	imes \vec{d} - \vec{c} 	imes \vec{a} - \vec{b} 	imes \vec{d} + \vec{b} 	imes \vec{a}) + (\vec{a} 	imes \vec{d} - \vec{a} 	imes \vec{b} - \vec{c} 	imes \vec{d} + \vec{c} 	imes \vec{b})|$.पदों को काटने पर,हमें मिलता है $V = |2(\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{b} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{a})| = 2 |\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{b} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{a}|$.चूंकि $	riangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} 	imes \vec{b} + \vec{b} 	imes \vec{c} + \vec{c} 	imes \vec{a}|$,इसलिए $V = 4 	imes (	riangle ABC$ का क्षेत्रफल)।अतः,$\lambda = 4$.

$A, B, C, D$ कोई भी $4$ बिंदु हैं और $|\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{AD} + \overline{CA} \times \overline{BD}| = \lambda$ ($\triangle ABC$ का क्षेत्रफल) है,तो $\lambda = $

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एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जो $\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ के साथ समतलीय हो और $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के लंबवत हो।

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