एक त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल P वर्ग इकाई और पर | vedclass

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Question

(A) माना त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $a, b, c$ इकाई हैं और संबंधित शीर्षलंब $h_1, h_2, h_3$ इकाई हैं।परिमाप $a + b + c = 2S$ है और क्षेत्रफल $P = \frac{1}

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$S^2 - 2P^2$

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(A) माना त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $a, b, c$ इकाई हैं और संबंधित शीर्षलंब $h_1, h_2, h_3$ इकाई हैं।परिमाप $a + b + c = 2S$ है और क्षेत्रफल $P = \frac{1}{2}(ah_1) = \frac{1}{2}(bh_2) = \frac{1}{2}(ch_3)$ है।अतः $h_1 = \frac{2P}{a}, h_2 = \frac{2P}{b}, h_3 = \frac{2P}{c}$ है।अब,$P^2 \left[ \frac{(h_1 h_2 + h_2 h_3 + h_3 h_1)^2}{h_1^2 h_2^2 h_3^2} - 2 \right]$ में मान रखने पर:$= P^2 \left[ \frac{(\frac{4P^2}{ab} + \frac{4P^2}{bc} + \frac{4P^2}{ca})^2}{(\frac{8P^3}{abc})^2} - 2 \right]$$= P^2 \left[ \frac{16P^4 (\frac{2S}{abc})^2}{\frac{64P^6}{a^2b^2c^2}} - 2 \right] = S^2 - 2P^2$.

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$\triangle ABC$ में, $a, b, c$ क्रमशः कोण $A, B, C$ के सम्मुख भुजाएँ हैं। तो, $a^{3} \sin (B-C) + b^{3} \sin (C-A) + c^{3} \sin (A-B)$ का मान क्या होगा?

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