int frac{x e^{left(frac{x^2}{x^2-2}right)}}{x | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x e^{\left(\frac{x^2}{x^2-2}\right)}}{x^4-4 x^2+4} d x$. ध्यान दें कि $x^4-4x^2+4 = (x^2-2)^2$. अतः, $I = \int \frac{x e^{\le

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{-1}{4} e^{\frac{x^2}{x^2-2}}+C$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x e^{\left(\frac{x^2}{x^2-2}\right)}}{x^4-4 x^2+4} d x$. ध्यान दें कि $x^4-4x^2+4 = (x^2-2)^2$. अतः, $I = \int \frac{x e^{\left(\frac{x^2}{x^2-2}\right)}}{(x^2-2)^2} d x$. माना $t = x^2$, तो $dt = 2x dx$, जिसका अर्थ है $x dx = \frac{1}{2} dt$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \frac{1}{2} \int \frac{e^{\left(\frac{t}{t-2}\right)}}{(t-2)^2} dt$. अब, माना $p = \frac{t}{t-2}$. तो $dp = \frac{(t-2)(1) - t(1)}{(t-2)^2} dt = \frac{-2}{(t-2)^2} dt$. इसका अर्थ है $\frac{1}{(t-2)^2} dt = -\frac{1}{2} dp$. समाकलन में रखने पर: $I = \frac{1}{2} \int e^p \left(-\frac{1}{2} dp\right) = -\frac{1}{4} \int e^p dp = -\frac{1}{4} e^p + C$. $p = \frac{x^2}{x^2-2}$ वापस रखने पर: $I = -\frac{1}{4} e^{\frac{x^2}{x^2-2}} + C$.

$\int \frac{x e^{\left(\frac{x^2}{x^2-2}\right)}}{x^4-4 x^2+4} d x=$

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