int_0^2 x^{frac{5}{2}} sqrt{2-x} , dx = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^2 x^{5/2} \sqrt{2-x} \, dx$ है। $x = 2 \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = 4 \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta$ प्राप्त ह

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$\frac{5 \pi}{8}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_0^2 x^{5/2} \sqrt{2-x} \, dx$ है। $x = 2 \sin^2 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर, $dx = 4 \sin 	heta \cos 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x=0, 	heta=0$ और जब $x=2, 	heta=\pi/2$ होता है। $I = \int_0^{\pi/2} (2 \sin^2 	heta)^{5/2} \sqrt{2 - 2 \sin^2 	heta} \cdot (4 \sin 	heta \cos 	heta) \, d	heta$ $I = \int_0^{\pi/2} (2^{5/2} \sin^5 	heta) (\sqrt{2} \cos 	heta) (4 \sin 	heta \cos 	heta) \, d	heta$ $I = \int_0^{\pi/2} (2^{5/2} \cdot 2^{1/2} \cdot 4) \sin^6 	heta \cos^2 	heta \, d	heta$ $I = 32 \int_0^{\pi/2} \sin^6 	heta \cos^2 	heta \, d	heta$ वालिस के सूत्र का उपयोग करने पर: $I = 32 \cdot \frac{(5 \cdot 3 \cdot 1) \cdot (1)}{(8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2)} \cdot \frac{\pi}{2}$ $I = 32 \cdot \frac{15}{384} \cdot \frac{\pi}{2} = 32 \cdot \frac{5}{128} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5 \pi}{8}$.

$\int_0^2 x^{\frac{5}{2}} \sqrt{2-x} \, dx =$

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$\int_{-\pi}^\pi \frac{\cos ^{2022} x}{1+(2022)^x} d x=$

यदि $f(x) = \int_{x^2}^{x^4} \sin \sqrt{t} \, dt$ है,तो $f'(x)$ का मान क्या होगा?

दिया गया है कि $\frac{d}{d x}\left[\int_0^{\phi(x)} f(t) d t\right]=f(\phi(x)) \cdot \phi^{\prime}(x)$. यदि $\int_0^{x^3} f(t) d t = x^2 \sin(2 \pi x)$ है,तो $f(8)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ और $F(x) = \int_0^{x^2} f(t) dt$ है। यदि $F(x) = x^2(1 + x)$ है,तो $f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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