मान लीजिए f:(0, +infty) to mathbb{R} और F(x) | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $F(x) = \int_0^{x^2} f(t) dt = x^2(1 + x)$.समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए लीबनिज नियम का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का $x$ क

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$4$

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(C) दिया गया है कि $F(x) = \int_0^{x^2} f(t) dt = x^2(1 + x)$.समाकलन चिह्न के अंतर्गत अवकलन के लिए लीबनिज नियम का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{d}{dx} \left( \int_0^{x^2} f(t) dt \right) = \frac{d}{dx} (x^2 + x^3)$.श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$f(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = 2x + 3x^2$.$f(x^2) \cdot 2x = 2x + 3x^2$.$x > 0$ के लिए,$2x$ से विभाजित करने पर:$f(x^2) = \frac{2x + 3x^2}{2x} = 1 + \frac{3}{2}x$.$f(4)$ ज्ञात करने के लिए,$x^2 = 4$ रखने पर,जिससे $x = 2$ प्राप्त होता है (क्योंकि $x > 0$):$f(4) = 1 + \frac{3}{2}(2) = 1 + 3 = 4$.

मान लीजिए $f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ और $F(x) = \int_0^{x^2} f(t) dt$ है। यदि $F(x) = x^2(1 + x)$ है,तो $f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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