lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n^2} sum_{k | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n}$ है।इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \

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$e^2+1$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n}$ है।इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{2n} \left(\frac{k}{n}\right) e^{k/n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $x = \frac{k}{n}$, तब $dx = \frac{1}{n}$। जब $k=1, x \rightarrow 0$ और जब $k=2n, x \rightarrow 2$।यह योग एक निश्चित समाकल में बदल जाता है: $S = \int_{0}^{2} x e^x dx$।खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए, $\int u dv = uv - \int v du$, जहाँ $u=x$ और $dv=e^x dx$:$S = [x e^x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} e^x dx$।$S = (2 e^2 - 0) - [e^x]_{0}^{2}$।$S = 2 e^2 - (e^2 - e^0) = 2 e^2 - e^2 + 1 = e^2 + 1$।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^{2n} k e^{k/n} = $

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मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ और $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ जहाँ $n=1, 2, 3, \ldots$ है। तो,

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)=$

यदि $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{4}{n^2}\right)\left(1+\frac{9}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=ae^{b}$ है,तो $a+b=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + {2^4} + {3^4} + .... + {n^4}}}{{{n^5}}} - \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1 + {2^3} + {3^3} + .... + {n^3}}}{{{n^5}}} = $

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1^2}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots \left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{\frac{1}{n}}=$

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