एक इकाई सदिश vec{e} = a hat{i} + b hat{j} + c | vedclass

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Question

(B) चूंकि $\vec{e}$, $\vec{u} = \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ और $\vec{v} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 5 \hat{k}$ के साथ समतलीय है, इसलिए उनका अदिश त्रि

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$3$

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(B) चूंकि $\vec{e}$, $\vec{u} = \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ और $\vec{v} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 5 \hat{k}$ के साथ समतलीय है, इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:$\begin{vmatrix} a & b & c \ 1 & -3 & 5 \ 3 & 1 & -5 \end{vmatrix} = 0$$a(15 - 5) - b(-5 - 15) + c(1 + 9) = 0$$10a + 20b + 10c = 0 \Rightarrow a + 2b + c = 0$ ...$(i)$दिया गया है कि $\vec{e} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$, अतः:$a + b + c = 0$ ...$(ii)$$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $(a + 2b + c) - (a + b + c) = 0 \Rightarrow b = 0$.$(ii)$ में $b = 0$ रखने पर, $c = -a$ प्राप्त होता है।चूंकि $\vec{e}$ एक इकाई सदिश है, $a^2 + b^2 + c^2 = 1 \Rightarrow a^2 + 0^2 + (-a)^2 = 1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$ और $c^2 = \frac{1}{2}$.अब, $2a^2 + 3b^2 + 4c^2 = 2(\frac{1}{2}) + 3(0) + 4(\frac{1}{2}) = 1 + 0 + 2 = 3$.

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किसी भी शून्येतर सदिशों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ के लिए,$\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c})]$ का मान क्या है?

यदि सदिश $a \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}+b \hat{j}+\hat{k}, \hat{i}+\hat{j}+c \hat{k}$ $(a \neq 1, b \neq 1, c \neq 1)$ समतलीय हैं,तो $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\hat{j}+\alpha \hat{k}$ और $\alpha \hat{i}+\hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन अधिकतम होने के लिए $\alpha$ का मान है

यदि $\vec{w} = \alpha (\vec{a} \times \vec{b}) + \beta (\vec{b} \times \vec{c}) + \gamma (\vec{c} \times \vec{a})$,$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 2$ और $\vec{w} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 8$ है,तो $\alpha + \beta + \gamma =$

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