int 2^x (f^{prime}(x) + f(x) log 2) , dx का म | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int (2^x f^{\prime}(x) + 2^x \log 2 \cdot f(x

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$2^x f(x) + C$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int (2^x f^{\prime}(x) + 2^x \log 2 \cdot f(x)) \, dx$. अवकलन के लिए गुणन नियम याद करें: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$. माना $u(x) = 2^x$ और $v(x) = f(x)$. तब $u^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (2^x) = 2^x \log 2$. अतः, समाकल्य $u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$ के रूप में है, जो $\frac{d}{dx} [2^x f(x)]$ है। इसलिए, $I = \int \frac{d}{dx} [2^x f(x)] \, dx = 2^x f(x) + C$.

$\int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$ का मान क्या है?

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$\int \left( \frac{1-\log x}{1+(\log x)^2} \right)^2 dx = $

$\int {{e^x} \left[ \frac{1 + x \log x}{x} \right] \, dx} = $

$\int e^x \left( \frac{x-1}{x^2} \right) dx =$

$\int \log x \cdot [\log (ex)]^{-2} dx = . . . . . .$

यदि $\int e^{2x} \frac{2(\sin 2x \cos 2x - 1)}{2 \sin^2 2x} dx = A e^{2x} \cot 2x + c$ (जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है), तो $A^3 =$ ?

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