int 2^x (f^{prime}(x) + f(x) log 2) , dx का म | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int (2^x f^{\prime}(x) + 2^x \log 2 \cdot f(x

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$2^x f(x) + C$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int (2^x f^{\prime}(x) + 2^x \log 2 \cdot f(x)) \, dx$. अवकलन के लिए गुणन नियम याद करें: $\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$. माना $u(x) = 2^x$ और $v(x) = f(x)$. तब $u^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} (2^x) = 2^x \log 2$. अतः, समाकल्य $u(x)v^{\prime}(x) + v(x)u^{\prime}(x)$ के रूप में है, जो $\frac{d}{dx} [2^x f(x)]$ है। इसलिए, $I = \int \frac{d}{dx} [2^x f(x)] \, dx = 2^x f(x) + C$.

$\int 2^x (f^{\prime}(x) + f(x) \log 2) \, dx$ का मान क्या है?

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मान लीजिए $f(t) = \int \left( \frac{1 - \sin(\ln t)}{1 - \cos(\ln t)} \right) dt$, $t > 1$ के लिए। यदि $f(e^{\pi/2}) = -e^{\pi/2}$ और $f(e^{\pi/4}) = \alpha e^{\pi/4}$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{e^{\cot x}}{\sin^2 x} (2 \log \csc x + \sin 2 x) dx =$

$\int [\sin (\log x) + \cos (\log x)] \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int {{e^{2x}}( - \sin x + 2\cos x)\,dx} = $

$\int e^x \left( \frac{\sec^2 x + \tan x - \cot x}{\sin x} \right) dx =$

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