एक गुणोत्तर श्रेणी के सभी पद धनात्मक हैं। यदि | vedclass

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Question

(D) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।प्रश्न के अनुसार,प्रत्येक पद अपने बाद के दो पदों के योग के बराबर है:

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}(\sqrt{5} - 1)$

Vedclass · Answer

(D) माना गुणोत्तर श्रेणी $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ है,जहाँ $a > 0$ और $r > 0$ है।प्रश्न के अनुसार,प्रत्येक पद अपने बाद के दो पदों के योग के बराबर है:$ar^{n-1} = ar^n + ar^{n+1}$दोनों पक्षों को $ar^{n-1}$ से विभाजित करने पर:$1 = r + r^2$इससे हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:$r^2 + r - 1 = 0$द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$चूंकि सभी पद धनात्मक हैं,इसलिए सार्व अनुपात $r$ धनात्मक होना चाहिए।अतः,हम धनात्मक मान लेंगे:$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{1}{2}(\sqrt{5} - 1)$

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