જો $1 + r + r^2 + \dots + r^n = (1 + r) (1 + r^2) (1 + r^4) (1 + r^8)$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શું થાય?

ધારો કે $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \ldots$ એવા ચોરસ છે કે જેથી દરેક $n \geq 1$ માટે,$A_{n}$ ની બાજુની લંબાઈ એ $A_{n+1}$ ના વિકર્ણની લંબાઈ જેટલી થાય. જો $A_{1}$ ની બાજુની લંબાઈ $12 \text{ cm}$ હોય,તો $n$ ની એવી ન્યૂનતમ કિંમત શોધો જેના માટે $A_{n}$ નું ક્ષેત્રફળ $1 \text{ cm}^2$ થી ઓછું હોય:

$\frac{6}{3^{26}} + \frac{10 \cdot 1}{3^{25}} + \frac{10 \cdot 2}{3^{24}} + \frac{10 \cdot 2^2}{3^{23}} + \ldots + \frac{10 \cdot 2^{24}}{3}$ ની કિંમત શોધો.

દ્વિઘાત સમીકરણ $(n^2 - 2n + 2)x^2 - 3x + (n^2 - 2n + 2) = 0, n \in R$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $\alpha$ તેના બીજના ગુણાકારનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે અને $\beta$ તેના બીજના સરવાળાનું મહત્તમ મૂલ્ય છે. તો તે સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) ના પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો, જેનું પ્રથમ પદ $\alpha$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\frac{\alpha}{\beta}$ છે, તે શોધો:

જો $x, G_1, G_2, y$ એ $G.P.$ ના ક્રમિક પદો હોય,તો $G_1 G_2$ ની કિંમત શું થાય?

શ્રેણી $1, 2, 2^2, ..., 2^n$ નો ગુણોત્તર મધ્યક (Geometric Mean) શોધો.