(1 - x) (1 - 2x) (1 - 2^2 x) (1 - 2^3 x) dots | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ ગુણાકાર $P = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 2^2 x) \dots (1 - 2^{15} x)$ છે.આને $P = (-1)^{16} (x - 1)(x - 2^{-1})(x - 2^{-2}) \dots (x - 2^{-15}) 	ime

Vedclass · Accepted Answer

$2^{105} - 2^{121}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ ગુણાકાર $P = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 2^2 x) \dots (1 - 2^{15} x)$ છે.આને $P = (-1)^{16} (x - 1)(x - 2^{-1})(x - 2^{-2}) \dots (x - 2^{-15}) 	imes (2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \dots 2^{15})$ તરીકે લખી શકાય.ઘાતાંકોનો સરવાળો $0 + 1 + 2 + \dots + 15 = \frac{15 	imes 16}{2} = 120$ થાય.તેથી,$P = 2^{120} \prod_{k=0}^{15} (x - 2^{-k})$.$\prod_{k=0}^{15} (x - a_k)$ ના વિસ્તરણમાં $x^{15}$ નો સહગુણક એ બીજોના સરવાળાની વિરોધી સંખ્યા છે,એટલે કે $-\sum_{k=0}^{15} 2^{-k}$.આમ,$x^{15}$ નો સહગુણક $2^{120} 	imes (- \sum_{k=0}^{15} \frac{1}{2^k}) = -2^{120} 	imes \frac{1(1 - (1/2)^{16})}{1 - 1/2} = -2^{120} 	imes 2(1 - 2^{-16}) = -2^{121}(1 - 2^{-16}) = -2^{121} + 2^{105} = 2^{105} - 2^{121}$ થાય.

$(1 - x) (1 - 2x) (1 - 2^2 x) (1 - 2^3 x) \dots (1 - 2^{15} x)$ ના ગુણાકારમાં $x^{15}$ નો સહગુણક શોધો.

Similar Questions

જો $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^2}\right)^{10}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ થી સ્વતંત્ર પદ $405$ હોય,તો $k=$

$(3^{1/8} + 5^{1/3})^{400}$ ના વિસ્તરણમાં સંમેય પદોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $(x - 2y + 3z)^n$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો $128$ હોય,તો $(1 + x)^n$ ના વિસ્તરણમાં સૌથી મોટો સહગુણક કયો છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module