(1 - x) (1 - 2x) (1 - 2^2 x) (1 - 2^3 x) dots | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) दिया गया गुणनफल $P = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 2^2 x) \dots (1 - 2^{15} x)$ है।इसे $P = (-1)^{16} (x - 1)(x - 2^{-1})(x - 2^{-2}) \dots (x - 2^{-15})

Vedclass · Accepted Answer

$2^{105} - 2^{121}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया गुणनफल $P = (1 - x)(1 - 2x)(1 - 2^2 x) \dots (1 - 2^{15} x)$ है।इसे $P = (-1)^{16} (x - 1)(x - 2^{-1})(x - 2^{-2}) \dots (x - 2^{-15}) 	imes (2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \dots 2^{15})$ के रूप में लिखा जा सकता है।घातांकों का योग $0 + 1 + 2 + \dots + 15 = \frac{15 	imes 16}{2} = 120$ है।अतः,$P = 2^{120} \prod_{k=0}^{15} (x - 2^{-k})$ है।$\prod_{k=0}^{15} (x - a_k)$ के विस्तार में $x^{15}$ का गुणांक मूलों के योग का ऋणात्मक होता है,अर्थात $-\sum_{k=0}^{15} 2^{-k}$।इस प्रकार,$x^{15}$ का गुणांक $2^{120} 	imes (- \sum_{k=0}^{15} \frac{1}{2^k}) = -2^{120} 	imes \frac{1(1 - (1/2)^{16})}{1 - 1/2} = -2^{120} 	imes 2(1 - 2^{-16}) = -2^{121}(1 - 2^{-16}) = -2^{121} + 2^{105} = 2^{105} - 2^{121}$ है।

$(1 - x) (1 - 2x) (1 - 2^2 x) (1 - 2^3 x) \dots (1 - 2^{15} x)$ के गुणनफल में $x^{15}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

Similar Questions

जब $x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{3}$ है,तो $(2x + 3y)^{11}$ के विस्तार में संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद क्या है?

$(1-x+x^2-x^3)^4$ के विस्तार में $x^4$ का गुणांक है

यदि $(x - 2y + 3z)^n$,$n \in N$ के विस्तार में गुणांकों का योग $128$ है,तो $(1 + x)^n$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक क्या है?

$(7^{1/3} + 11^{1/9})^{6561}$ के विस्तार में पूर्णांक पदों की संख्या क्या है?

यदि $(x + a)^n$ के विस्तार में दूसरा,तीसरा और चौथा पद क्रमशः $240, 720$ और $1080$ हैं,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module