$(1-x+x^2-x^3)^4$ के विस्तार में $x^4$ का गुणांक है

दर्शाइए कि $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में मध्य पद का गुणांक $(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार में दो मध्य पदों के गुणांकों के योग के बराबर है।

यदि $\left(2x^{r} + \frac{1}{x^{2}}\right)^{10}$ के द्विपद विस्तार में अचर पद $180$ है,तो $r$ का मान $......$ है।

$(x - \frac{3}{x^2})^m$ के विस्तार में पहले तीन पदों के गुणांकों का योग $559$ है,जहाँ $x \neq 0$ और $m$ एक प्राकृतिक संख्या है। $x^3$ वाला पद ज्ञात कीजिए। ($x^3$ में)

$\left(\frac{x}{\cos \theta}+\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{16}$ के विस्तार में,यदि $\frac{\pi}{8} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए $x$ से स्वतंत्र पद का न्यूनतम मान $\ell_{1}$ है और $\frac{\pi}{16} \leq \theta \leq \frac{\pi}{8}$ के लिए $x$ से स्वतंत्र पद का न्यूनतम मान $\ell_{2}$ है,तो अनुपात $\ell_{2} : \ell_{1}$ बराबर है

$(x^{2}-yx)^{12}, x \neq 0$ के विस्तार में सामान्य पद लिखिए।