$5$ अंकों के कुल टेलीफोन नंबर जो इस प्रकार बनाए जा सकते हैं कि कम से कम एक अंक दोहराया जाए,उनकी संख्या .... है। (पहला अंक $0$ नहीं हो सकता)।

मान लीजिए $m$ एक ऐसी प्राकृतिक संख्या है कि $20000 < m < 60000$ और $k$,$m$ के सभी अंकों का योग है। तो $m$ की उन संख्याओं की संख्या जिनके लिए $k$ सम है,है

अंकों $0, 2, 3, 4, 6, 7$ का उपयोग करके बंद अंतराल $[2022, 4482]$ में आने वाली $4$-अंकीय पूर्णांकों की संख्या है:

$(2 \cdot {}^{1}P_{0} - 3 \cdot {}^{2}P_{1} + 4 \cdot {}^{3}P_{2} - \dots 51^{\text{th}} \text{ पद तक}) + (1! - 2! + 3! - \dots 51^{\text{th}} \text{ पद तक})$ का मान ज्ञात कीजिए।

$1, 2, 3, 4,$ और $5$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली चार अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनमें कम से कम दो अंक समान हों?

व्यंजक ${ }^{47} C_4 + \sum_{j=1}^5 { }^{52-j} C_3$ का मान है