બિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ અને $a\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ છે. જો આ બિંદુઓ $\angle C = \pi/2$ સાથે કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે,તો $a$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ એ બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ છે. ધારો કે $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{c}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ બે સદિશો છે અને $\vec{r}$ એ બિંદુ $A$ (સ્થાન સદિશ $\vec{a}$) માંથી પસાર થતો અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર સદિશ છે. જો $\vec{r}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{9}{\sqrt{6}}$ હોય, તો $|\vec{r}|$ શોધો.

જો $a, b$ અને $c$ ત્રણ સદિશો એવા હોય કે જેથી $|a + b + c| = 1$, $c = \lambda(a \times b)$, અને $|a| = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $|b| = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $|c| = \frac{1}{\sqrt{6}}$, તો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે

જો $\vec{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}, \vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$ એવા સદિશો હોય કે જેથી $\vec{a}+\lambda \vec{b}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $P$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને $|P| \geq 2$. જો $A, B, C$ એવા ચલ ખૂણાઓ છે કે જેથી $(\sqrt{P^2-4}) \tan A + P \tan B + (\sqrt{P^2+4}) \tan C = 6P$ થાય,તો $\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

$ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં $\max \{AB, BC, AC\} = BC$ છે. જો $B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ અને $5\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ હોય,તો $AB \cdot AC + BA \cdot BC + CA \cdot CB$ ની કિંમત શોધો.