$m$ ની કઈ કિંમત માટે સદિશો $2\bar{i} - m\bar{j} + 3m\bar{k}$ અને $(1 + m)\bar{i} - 2m\bar{j} + \bar{k}$ વચ્ચે બનતો ખૂણો લઘુકોણ હોય?

ધારો કે $m$ એ સદિશ $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ ને લંબ અને સદિશો $2 \hat{i}+\hat{j}$ તથા $\hat{j}-\hat{k}$ સાથે એક જ સમતલમાં આવેલો એકમ સદિશ છે. જો $a=\hat{i}-\hat{k}$ હોય,તો ઉગમબિંદુથી સમતલ $r \cdot m=a \cdot m$ પરના લંબની લંબાઈ શોધો.

ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં, $\measuredangle A = \frac{2\pi}{3}$ અને $\vec{AC}$ એ ખૂણા $A$ નો દ્વિભાજક છે. જો $15|\vec{AC}| = 5|\vec{AD}| = 3|\vec{AB}|$ હોય, તો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

જો $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$ હોય,તો $\cos ^2 A$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$, $\vec{b} = \alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ હોય, તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો

ધારો કે $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે. $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ ના સમતલમાં આવેલો સદિશ જેનો $\overrightarrow{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ માન ધરાવે છે,તે શોધો.