यदि vec{a}, vec{b}, vec{c} तीन असमतलीय सदिश ह | vedclass

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Question

(A) चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं,वे सदिश समष्टि के लिए एक आधार (basis) बनाते हैं। किसी भी सदिश $\vec{r}$ को $\vec{a}, \vec{b}, \

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$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] \vec{r}$

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(A) चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ असमतलीय सदिश हैं,वे सदिश समष्टि के लिए एक आधार (basis) बनाते हैं। किसी भी सदिश $\vec{r}$ को $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:$\vec{r} = x_1 \vec{a} + x_2 \vec{b} + x_3 \vec{c}$$\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ अदिश त्रिक गुणन लेने पर:$\vec{r} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = x_1 \vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) + x_2 \vec{b} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) + x_3 \vec{c} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c})$चूंकि $\vec{b} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = 0$ और $\vec{c} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c}) = 0$,हमें प्राप्त होता है:$[\vec{r} \, \vec{b} \, \vec{c}] = x_1 [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] \implies x_1 = \frac{[\vec{r} \, \vec{b} \, \vec{c}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]} = \frac{[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]}$इसी प्रकार,$x_2 = \frac{[\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]}$ और $x_3 = \frac{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]}$इन मानों को $\vec{r}$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$\vec{r} = \frac{[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]} \vec{a} + \frac{[\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]} \vec{b} + \frac{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]} \vec{c}$दोनों पक्षों को $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$ से गुणा करने पर:$[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{r}] \vec{a} + [\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{r}] \vec{b} + [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{r}] \vec{c} = [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] \vec{r}$

यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $\vec{r}$ कोई सदिश है,तो $[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{r}] \vec{a} + [\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{r}] \vec{b} + [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{r}] \vec{c} = \dots$

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यदि $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} - 4\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + \lambda \hat{j} + 3\hat{k}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

किन्हीं भी शून्येतर सदिशों $a, b, c$ के लिए,$a \cdot[(b+c) \times(a+b+c)] = \ldots .$

$a \cdot [(b + c) \times (a + b + c)]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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