यदि सदिश $\overrightarrow{p}=(a+1) \hat{i}+a \hat{j}+a \hat{k}$,$\overrightarrow{q}=a \hat{i}+(a+1) \hat{j}+a \hat{k}$,और $\overrightarrow{r}=a \hat{i}+a \hat{j}+(a+1) \hat{k}$ $(a \in R)$ समतलीय हैं और $3(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^{2}-\lambda|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{q}|^{2}=0$ है,तो $\lambda$ का मान है:

यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{c}=x\hat{i}+(x-2)\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ का एक रैखिक संयोजन है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक चतुष्फलक (tetrahedron) का आयतन ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष $4 \hat{i}+5 \hat{j}+\hat{k}$, $-\hat{j}+\hat{k}$, $3 \hat{i}+9 \hat{j}+4 \hat{k}$ और $-2 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}$ हैं (घन इकाइयों में)।

यदि $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $\frac{a \cdot (b \times c)}{c \times a \cdot b} + \frac{b \cdot (a \times c)}{c \cdot (a \times b)} = $

माना $\vec{v}=\alpha \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{w}=2 \alpha \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,और $\vec{u}$ एक ऐसा सदिश है कि $|\vec{u}|=\alpha > 0$ है। यदि अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]$ का न्यूनतम मान $-\alpha \sqrt{3401}$ है,और $|\vec{u} \cdot \hat{i}|^2=\frac{m}{n}$ जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ हैं,तो $m + n$ का मान $.........$ है।

सदिश $(\hat{i} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{i} + (\hat{j} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{j} + (\hat{k} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{k}$ किसके बराबर है?