एक समतल बिंदु (1, -2, 1) से होकर गुजरता है और | vedclass

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Question

(A) माना अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है।चूंकि समतल,अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ वाले समतलों

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$2\sqrt{2}$

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(A) माना अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ है।चूंकि समतल,अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ वाले समतलों के लंबवत है,इसलिए सदिश $\vec{n}$,$\vec{n_1} 	imes \vec{n_2}$ के समांतर होगा।$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & -2 & 1 \ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 0)$ के रूप में ले सकते हैं।बिंदु $(1, -2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ है,जो सरल होकर $x + y + 1 = 0$ हो जाता है।बिंदु $(1, 2, 2)$ से समतल $x + y + 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|1(1) + 1(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।

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बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरने वाले और समतल $2x + 3y - 4z = 0$ के समानांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि समतलों $x-2y+3z-5=0$ और $x+\alpha y+2z+7=0$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{1}{14}\right)$ है,तो $\alpha$ के मानों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

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उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो मूल बिंदु से $7$ इकाई की दूरी पर है और सदिश $3 \hat{i} + 5 \hat{j} - 6 \hat{k}$ पर लंब है।

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