यदि समतलों x-2y+3z-5=0 और x+alpha y+2z+7=0 के | vedclass

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Question

(B) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।समतलों के बीच का कोण $

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$\frac{62}{55}$

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(B) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।समतलों के बीच का कोण $	heta$ सूत्र $\cos 	heta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।दिया है $\cos 	heta = \frac{1}{14}$,अतः $\frac{|(1)(1) + (-2)(\alpha) + (3)(2)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} \sqrt{1^2 + \alpha^2 + 2^2}} = \frac{1}{14}$.$\frac{|7 - 2\alpha|}{\sqrt{14} \sqrt{\alpha^2 + 5}} = \frac{1}{14}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(7 - 2\alpha)^2}{14(\alpha^2 + 5)} = \frac{1}{196}$.$\frac{49 - 28\alpha + 4\alpha^2}{\alpha^2 + 5} = \frac{1}{14}$.$14(4\alpha^2 - 28\alpha + 49) = \alpha^2 + 5$.$56\alpha^2 - 392\alpha + 686 = \alpha^2 + 5$.$55\alpha^2 - 392\alpha + 681 = 0$.माना मूल $\alpha_1$ और $\alpha_2$ हैं। अंतर $|\alpha_1 - \alpha_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|} = \frac{\sqrt{(-392)^2 - 4(55)(681)}}{55}$.$D = 153664 - 149820 = 3844$.$\sqrt{D} = 62$.अंतर $= \frac{62}{55}$.

यदि समतलों $x-2y+3z-5=0$ और $x+\alpha y+2z+7=0$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\frac{1}{14}\right)$ है,तो $\alpha$ के मानों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

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