(1, 0) અને (0, 1) માંથી પસાર થતા અને ન્યૂનત્ત | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ $(i)$ છે.વર્તૂળ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે:$(1, 0)$ માટે: $1 + 2g + c = 0$ $

Vedclass · Accepted Answer

$x^2 + y^2 - x - y = 0$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે વર્તૂળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ $(i)$ છે.વર્તૂળ $(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે:$(1, 0)$ માટે: $1 + 2g + c = 0$ $(ii)$.$(0, 1)$ માટે: $1 + 2f + c = 0$ $(iii)$.$(ii)$ માંથી $(iii)$ બાદ કરતા,$2g - 2f = 0$,તેથી $g = f$.$f = g$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$c = -(1 + 2g)$ મળે.ત્રિજ્યા $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{g^2 + g^2 - (-(1 + 2g))} = \sqrt{2g^2 + 2g + 1}$.$R$ ને ન્યૂનત્તમ કરવા માટે,$R^2 = 2g^2 + 2g + 1$ ને ન્યૂનત્તમ કરીએ.$g$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{d}{dg}(2g^2 + 2g + 1) = 4g + 2 = 0$,જેથી $g = -\frac{1}{2}$.$g = f$ હોવાથી,$f = -\frac{1}{2}$.ત્યારબાદ $c = -(1 + 2(-\frac{1}{2})) = -(1 - 1) = 0$.$g, f, c$ ની કિંમતો $(i)$ માં મૂકતા,સમીકરણ $x^2 + y^2 - x - y = 0$ મળે છે.વૈકલ્પિક રીતે,બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતા ન્યૂનત્તમ ત્રિજ્યાવાળા વર્તૂળ માટે તે બે બિંદુઓ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ હોય છે.સમીકરણ $(x - 1)(x - 0) + (y - 0)(y - 1) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 - x - y = 0$ છે.

$(1, 0)$ અને $(0, 1)$ માંથી પસાર થતા અને ન્યૂનત્તમ શક્ય ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તૂળનું સમીકરણ શોધો:

Similar Questions

ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ની નાભિઓમાંથી પસાર થતા અને કેન્દ્ર $(0, 3)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

જો $(4, -2)$ માંથી પસાર થતું વર્તુળ,વર્તુળ $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 20 = 0$ સાથે સમકેન્દ્રી હોય,તો $x^2 + y^2 - 2x + 4y + c = 0$ માટે $c$ નું મૂલ્ય શોધો.

$(-4, 3)$ કેન્દ્ર ધરાવતા અને $x^2 + y^2 = 1$ વર્તુળને સ્પર્શતા વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module