$x$-અક્ષને બિંદુ $(1, 0)$ આગળ સ્પર્શતા અને બિંદુ $(2, -3)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળના વ્યાસની લંબાઈ શોધો:

$a, b, c$ $(a < b < c)$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ત્રણ વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે. જો તેઓ $x$-અક્ષને સામાન્ય સ્પર્શક તરીકે ધરાવતા હોય,તો:

બિંદુ $(-1, 2)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0$ પર દોરી શકાતા સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $C_1$ એ ત્રીજા ચરણમાં આવેલું $3$ ત્રિજ્યા વાળું વર્તુળ છે,જે બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે. ધારો કે $C_2$ એ $(1,3)$ કેન્દ્ર વાળું વર્તુળ છે જે $C_1$ ને બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પર બહારથી સ્પર્શે છે. જો $(\beta-\alpha)^2=\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,તો $m + n$ ની કિંમત શોધો:

ધારો કે આપેલ વક્ર પરના તમામ બિંદુઓ પરના અભિલંબ એક નિશ્ચિત બિંદુ $(a, b)$ માંથી પસાર થાય છે. જો વક્ર $(3, -3)$ અને $(4, -2\sqrt{2})$ માંથી પસાર થતો હોય,અને આપેલ છે કે $a - 2\sqrt{2}b = 3$,તો $(a^{2} + b^{2} + ab)$ ની કિંમત ..... થાય.

$12$ લંબાઈની બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણમાં એક વર્તુળ અંતર્ગત છે. જો આ વર્તુળમાં અંતર્ગત કોઈપણ ચોરસનું ક્ષેત્રફળ અને પરિમિતિ અનુક્રમે $m$ અને $n$ હોય,તો $m+n^2$ ની કિંમત શોધો.