ઉપવલય $x^2 + 2y^2 = 2$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળના સ્પર્શકો દ્વારા બનતા ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$l$ લંબાઈનો એક દાદર એક ઊભી દીવાલ અને રૂમના ભોંયતળિયા પર ટેકવેલો છે. ધારો કે $P$ એ દાદર પરનું એક બિંદુ છે,જે દીવાલ પરના તેના છેડાની નજીક છે અને તેની લંબાઈને $1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. જો દાદર ભોંયતળિયા પર સરકવાનું શરૂ કરે,તો $P$ નો બિંદુપથ શું હશે?

ધારો કે બે ઉપવલયોના સમીકરણો $E_1: \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ અને $E_2: \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. જો તેમની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $\frac{1}{2}$ હોય,તો ઉપવલય $E_2$ ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ કેટલી થાય?

વક્ર $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બિંદુ $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ આગળ દોરેલા સ્પર્શક અને અભિલંબ તથા $X$-અક્ષ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પર આવેલા ત્રણ બિંદુઓ $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર $(r, s)$ છે. તો $\cos(\theta_1-\theta_2)$,$\cos(\theta_2-\theta_3)$ અને $\cos(\theta_3-\theta_1)$ ની સરેરાશ શોધો.

એક ઉપવલયનું નાભિ ઉગમબિંદુ પર છે. નિયામિકા રેખા $x = 4$ છે અને ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{1}{2}$ છે. તો અર્ધ-પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ શોધો.