$R$ त्रिज्या वाले एक गोले के भीतर अधिकतम आयतन वाला एक शंकु स्थित है। शंकु की ऊँचाई और गोले के व्यास का अनुपात ज्ञात कीजिए।

यदि फलन $f(x)=2 x^{3}-9 a x^{2}+12 a^{2} x+1$ क्रमशः $p$ और $q$ पर अपना अधिकतम और न्यूनतम मान प्राप्त करता है,जहाँ $p^{2}=q$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = x \sin \pi x$,$x > 0$ है। तो सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए,$f^{\prime}(x)$ कहाँ शून्य होता है?
$(A)$ अंतराल $\left(n, n+\frac{1}{2}\right)$ में एक अद्वितीय बिंदु पर
$(B)$ अंतराल $\left(n+\frac{1}{2}, n+1\right)$ में एक अद्वितीय बिंदु पर
$(C)$ अंतराल $(n, n+1)$ में एक अद्वितीय बिंदु पर
$(D)$ अंतराल $(n, n+1)$ में दो बिंदुओं पर

${\sin ^p}x{\cos ^q}x$ का एक उच्चतम बिंदु है

यदि $f(x) = x^4 + \lambda x^3 + x^2$ $(\lambda \in R)$ का $x = \frac{1}{2}$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maximum) है,तो $f(x)$ का निरपेक्ष निम्निष्ठ (absolute minimum) मान है:

वक्र $y(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + 5$,$x$-अक्ष को बिंदु $P(-2, 0)$ पर स्पर्श करता है और $y$-अक्ष को बिंदु $Q$ पर काटता है,जहाँ अवकलज $y'(0) = 3$ है। $y(x)$ का स्थानीय अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।