अंतराल $[1, 3]$ पर फलन $f(x) = \log_e x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार $c$ का क्या मान होगा?

मान लीजिए $f$ एक फलन है जो अंतराल $[0, 1]$ पर अवकलनीय है। तो, निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

यदि $a + b + c = 0$ है,तो अंतराल $(0, 1)$ में समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के कितने मूल हैं?

यदि $f$ एक अवकलनीय फलन है,जैसे कि $f(2x + 1) = f(1 - 2x)$ सभी $x \in R$ के लिए,तो $x \in (-5, 10)$ में समीकरण $f'(x) = 0$ के मूलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए,दिया गया है कि $f(2) = f(5) = f(10)$ है।

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक तीन बार अवकलनीय फलन है जैसे कि $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2$ और $f(4)=-2$ है। तो,$(3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ के शून्यकों की न्यूनतम संख्या .................... है।

यदि $2a + 3b + 6c = 0$ है,तो समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का कम से कम एक मूल किस अंतराल में स्थित है?