વિધાન-I: સંખ્યાઓ 1, 2^{1/2}, 3^{1/3}, 4^{1/4} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $f(x) = x^{1/x}$ ને $x > 0$ માટે ધ્યાનમાં લો.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{f'(x

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન-$I$ સાચું છે,વિધાન-$II$ સાચું છે. વિધાન-$II$ એ વિધાન-$I$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $f(x) = x^{1/x}$ ને $x > 0$ માટે ધ્યાનમાં લો.પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,$\ln(f(x)) = \frac{1}{x} \ln(x)$.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x(\frac{1}{x}) - \ln(x)(1)}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2}$.આમ,$f'(x) = x^{1/x} \left( \frac{1 - \ln(x)}{x^2} \right)$.જ્યારે $1 - \ln(x) > 0$ હોય ત્યારે $f'(x) > 0$,એટલે કે $\ln(x) જ્યારે $1 - \ln(x)  1$,જેનો અર્થ છે $x > e$.તેથી,વિધાન-$II$ સાચું છે.હવે,$e \approx 2.718$. $2 $2^{1/2}$ અને $3^{1/3}$ ની સરખામણી કરતા: $2 $3^{1/3}$ અને $4^{1/4}$ ની સરખામણી કરતા: $3 $x > e$ માટે $f(x)$ ઘટતું હોવાથી,$f(3) > f(4) > f(5) > f(6) > f(7)$.આમ,આપેલી સંખ્યાઓમાંથી $3^{1/3}$ એ ખરેખર મહત્તમ કિંમત છે.તેથી,વિધાન-$I$ સાચું છે અને વિધાન-$II$ એ વિધાન-$I$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

Similar Questions

બધા $x \in (0, 1)$ માટે,નીચેનામાંથી કઈ અસમતા સાચી છે?

$S$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા કોઈપણ કાટકોણ ત્રિકોણને પરિબદ્ધ કરતા વર્તુળનું ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

ધારો કે $f(x) = x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} + c$, જ્યાં $c \in R$. તો,

$f(x) = |x + 2| - 1$ દ્વારા આપવામાં આવેલા વિધેયની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module