$P(3,1)$,$Q(6,5)$ અને $R(x,y)$ એ ત્રણ બિંદુઓ છે કે જેથી ખૂણો $\angle PRQ$ કાટખૂણો છે અને $\Delta RPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= 5$ છે. તો આવા બિંદુઓ $R$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $4 \, \text{units}$ વ્યાસ ધરાવતા વર્તુળની બે સમાંતર જીવાઓ કેન્દ્રની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલી હોય અને કેન્દ્ર આગળ અનુક્રમે $\cos^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$ અને $\sec^{-1}(7)$ ખૂણા આંતરતી હોય,તો આ જીવાઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

જેની ત્રિજ્યા $3$ છે અને જે વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ ને બિંદુ $(-1,-1)$ આગળ આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે તે વર્તુળનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું અને ઉગમબિંદુની નજીકનું એક વર્તુળ $C$ એવું છે કે બિંદુ $(3,2)$ માંથી પસાર થતી અને યામ અક્ષોને સમાંતર રેખાઓ તેને સ્પર્શે છે. તો બિંદુ $(5,5)$ થી વર્તુળ $C$ નું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?

ધારો કે $S$ એ $(0,0)$ પર કેન્દ્રિત $1$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પરના તમામ બિંદુઓ $\left(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}\right)$ નો ગણ છે,જ્યાં $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે,$c$ અને $d$ પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે (એટલે કે $\operatorname{HCF}(a, b) = \operatorname{HCF}(c, d) = 1$),અને પૂર્ણાંકો $b$ અને $d$ બેકી સંખ્યા છે. તો,ગણ $S$:

જો વર્તુળ $x^2+y^2-4x+4y+4=0$ ના સાપેક્ષ બિંદુ $P(3, 3)$ નું પ્રતિવર્તી બિંદુ $Q(a, b)$ હોય,તો $a+5b=$