$\sum\limits_{\lambda = 1}^{10} {{{\sin }^{ - 1}}\left( {\sin \left( {\lambda \pi - \frac{\pi }{6}} \right)} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sec ^2(\tan ^{-1} 3) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 3) = $ . . . . . . .

किसी भी $y \in R$ के लिए,मान लीजिए $\cot ^{-1}(y) \in(0, \pi)$ और $\tan ^{-1}(y) \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तब $0 < |y| < 3$ के लिए समीकरण $\tan ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y}\right)=\frac{2 \pi}{3}$ के सभी हलों का योग किसके बराबर है?

यदि $x+iy = \frac{1+7i}{(2-i)^2}$ है,तो $\operatorname{cosec}\left(\tan^{-1} \frac{y}{x} - \frac{\pi}{4}\right) = $

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(I)$ यदि $f(x) = \sin \left(\cot ^{-1} \left(\cos \left(\tan ^{-1} x\right)\right)\right)$ है, तो $f(0) = \frac{1}{2}$ है।
$(II)$ $\sin \left(4 \tan ^{-1} \frac{1}{5} - \tan ^{-1} \frac{1}{239}\right) = 1$ है।
तो निम्नलिखित में से सही विकल्प है:

$a>0$ के लिए, यदि $f(x)=ax+b$ अंतराल $[-1,1]$ से $[0,2]$ पर एक आच्छादक (onto) फलन है, तो $\cot \left[\tan ^{-1} \frac{1}{7}+\tan ^{-1} \frac{1}{8}+\tan ^{-1} \frac{1}{5}\right]=$