$m$ द्रव्यमान के एक पिंड को एक द्रव्यमानहीन स्प्रिंग के एक सिरे से जोड़ा गया है,जिसे एक स्थिर बिंदु से ऊर्ध्वाधर रूप से लटकाया गया है। द्रव्यमान को हाथ में पकड़ा जाता है,ताकि स्प्रिंग न तो खिंची हो और न ही दबी हो। अचानक हाथ का सहारा हटा लिया जाता है। दोलन के दौरान द्रव्यमान द्वारा प्राप्त सबसे निचली स्थिति उस बिंदु से $4 \, cm$ नीचे है जहाँ इसे हाथ में पकड़ा गया था।
$(a)$ दोलन का आयाम क्या है?
$(b)$ दोलन की आवृत्ति ज्ञात कीजिए।

(N/A) मान लीजिए स्प्रिंग नियतांक $k$ है। जब हाथ का सहारा हटा लिया जाता है,तो $m$ द्रव्यमान का पिंड दोलन करना शुरू कर देता है। प्राप्त सबसे निचला बिंदु $x_{max} = 4 \, cm = 0.04 \, m$ है। इस बिंदु पर वेग शून्य है,इसलिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में कमी,स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$mgx_{max} = \frac{1}{2} k x_{max}^2$
$mg = \frac{1}{2} k x_{max} \implies x_{max} = \frac{2mg}{k}$.
साम्यावस्था (माध्य स्थिति) $x_{eq} = \frac{mg}{k}$ पर है।
आयाम $A$ माध्य स्थिति से चरम स्थिति तक की दूरी है:
$A = x_{max} - x_{eq} = \frac{2mg}{k} - \frac{mg}{k} = \frac{mg}{k}$.
चूंकि $x_{max} = 4 \, cm$,इसलिए $\frac{2mg}{k} = 4 \, cm$,जिसका अर्थ है कि $\frac{mg}{k} = 2 \, cm$.
अतः,आयाम $A = 2 \, cm = 0.02 \, m$.
$(b)$ दोलन की आवृत्ति $f$ को $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{mg}{k} = 0.02 \, m$ से,हमें $\frac{k}{m} = \frac{g}{0.02} = \frac{9.8}{0.02} = 490 \, s^{-2}$ प्राप्त होता है।
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{490} \approx \frac{22.136}{6.28} \approx 3.52 \, Hz$.