एक बक्से में $2$ सफेद गेंदें,$3$ काली गेंदें और $4$ लाल गेंदें हैं। यदि बक्से से $3$ गेंदें निकाली जानी हैं,तो कितनी तरह से गेंदें निकाली जा सकती हैं,यदि कम से कम एक काली गेंद शामिल हो?

एक कमरे में $9$ कुर्सियाँ हैं जिन पर $6$ व्यक्तियों को बैठाना है। इन $6$ व्यक्तियों में से एक अतिथि है जिसे एक विशिष्ट कुर्सी पर ही बैठना है। वे कितने तरीकों से बैठ सकते हैं?

$\sum\limits_{r = 0}^{n - 1} {\frac{{^n{C_r}}}{{^n{C_r} + {\,^n}{C_{r + 1}}}}} $ का मान क्या है?

जब $0 \le r \le n-1$ हो,तो $\binom{n}{n-r} + \binom{n}{r+1}$ का मान किसके बराबर है?

एक छात्र को $(2n + 1)$ पुस्तकों के संग्रह से अधिकतम $n$ पुस्तकें चुनने की अनुमति है। यदि वह कम से कम एक पुस्तक चुनने के कुल तरीकों की संख्या $63$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक पुरुष $X$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ हैं और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ हैं और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $X$ और $Y$ का कोई भी मित्र सामान्य नहीं है। तो कुल कितने तरीकों से $X$ और $Y$ मिलकर एक पार्टी दे सकते हैं जिसमें $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को आमंत्रित किया जाए,ताकि $X$ और $Y$ में से प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों?