એક સતત અને વિકલનીય વિધેય $f$ એ શરત $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ ને તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે સંતોષે છે. તો:

ધારો કે વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(t)=\begin{cases} (-1)^{n+1} 2, & \text{જો } t=2n-1, n \in N \\ \frac{(2n+1-t)}{2} f(2n-1) + \frac{(t-(2n-1))}{2} f(2n+1), & \text{જો } 2n-1 < t < 2n+1, n \in N \end{cases}$
$g(x) = \int_1^x f(t) dt, x \in (1, \infty)$ વ્યાખ્યાયિત કરો. ધારો કે $\alpha$ એ અંતરાલ $(1, 8]$ માં સમીકરણ $g(x) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા દર્શાવે છે અને $\beta = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{g(x)}{x-1}$ છે. તો $\alpha + \beta$ ની કિંમત શોધો.

$\int_1^2 \log _2(x^3+1) dx + \int_1^{\log_2 9} (2^x-1)^{1/3} dx$ ની કિંમતથી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક . . . . . છે.

જો $\int_0^{2 \pi}\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right) d x=K \int_0^\pi \sin ^2 x d x+L \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x d x$ અને $K, L \in N$ હોય,તો શક્ય ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(K, L)$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $a, b, c$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $\int_0^1 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx} = \int_0^2 {(1 + \cos^8 x)(ax^2 + bx + c) \, dx}$. તો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ને:

$y = \int_{0}^{x} (t - 1)(t - 2) dt$ ની અંતિમ કિંમત (extremum value) શોધો.