માત્ર $0$ અથવા $1$ ઘટકો ધરાવતા $2$ ક્રમના તમામ નિશ્ચાયકોના ગણમાંથી એક નિશ્ચાયક યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. પસંદ કરેલા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય ધન હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે $S =\{ M = [a_{ij}], a_{ij} \in \{0,1,2\}, 1 \leq i, j \leq 2\}$ એ એક નિદર્શાવકાશ છે અને $A = \{M \in S : M \text{ વ્યસ્ત છે}\}$ એ એક ઘટના છે. તો $P(A)$ ની કિંમત શોધો.

સ્તંભ $I$ માં આપેલા વિધાનોને સ્તંભ $II$ માં આપેલા અંતરાલો/અંતરાલોના યોગગણ સાથે જોડો.

સ્તંભ $I$	સ્તંભ $II$
$(A)$ ગણ $\{\operatorname{Re}(\frac{2 i z}{1-z^2}): |z|=1, z \neq \pm 1\}$ એ છે	$(p)$ $(-\infty,-1) \cup(1, \infty)$
$(B)$ $f(x)=\sin ^{-1}(\frac{8(3)^{x-2}}{1-3^{2(x-1)}})$ નો પ્રદેશ છે	$(q)$ $(-\infty, 0) \cup(0, \infty)$
$(C)$ જો $f(\theta)=\left|\begin{array}{ccc}1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1\end{array}\right|$,તો ગણ $\{f(\theta): 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}\}$ છે	$(r)$ $[2, \infty)$
$(D)$ જો $f(x)=x^{3 / 2}(3 x-10), x \geq 0$,તો $f(x)$ એ કયા અંતરાલમાં વધતું વિધેય છે	$(s)$ $(-\infty,-1] \cup[1, \infty)$
	$(t)$ $(-\infty, 0] \cup[2, \infty)$

જો $P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}$,$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $Q = PAP^T$ હોય,તો $P^T(Q^{2005})P$ ની કિંમત શોધો.

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ અને $A^3 = (aA - I)(bA - I)$,જ્યાં $a, b$ પૂર્ણાંકો છે અને $I$ એ $3 \times 3$ એકમ શ્રેણિક છે,તો $(a + b)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે $A$ એ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ શ્રેણિક છે. ધારો કે $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક છે. $\operatorname{Tr}(A)$ એ $A$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો દર્શાવે છે. ધારો કે $A^2=I$.
વિધાન $I$: જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો $\operatorname{det}(A) = -1$.
વિધાન $II$: જો $A \neq I$ અને $A \neq -I$ હોય,તો $\operatorname{Tr}(A) \neq 0$.