એક આહારશાસ્ત્રી બે પ્રકારના ખોરાક $X$ અને $Y$ ને એવી રીતે મિશ્ર કરવા માંગે છે કે જેથી મિશ્રણમાં ઓછામાં ઓછા $10$ એકમ વિટામિન $A$,$12$ એકમ વિટામિન $B$ અને $8$ એકમ વિટામિન $C$ હોય. એક $kg$ ખોરાકમાં વિટામિનનું પ્રમાણ નીચે મુજબ છે:

ખોરાક	વિટામિન $A$	વિટામિન $B$	વિટામિન $C$
$X$	$1$	$2$	$3$
$Y$	$2$	$2$	$1$

એક $kg$ ખોરાક $X$ ની કિંમત $Rs. 16$ છે અને એક $kg$ ખોરાક $Y$ ની કિંમત $Rs. 20$ છે. જરૂરી આહાર મેળવવા માટે મિશ્રણની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

અસમતાઓ $x-y \geqslant 0$,$x-5y \leqslant -5$,$x \geqslant 0$,$y \geqslant 0$ માટે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ આકૃતિ દ્વારા દર્શાવેલ છે:

એક બીમાર વ્યક્તિના આહારમાં ઓછામાં ઓછા $4000$ એકમ વિટામિન,$50$ એકમ પ્રોટીન અને $1400$ કેલરી હોવી જોઈએ. બે ખોરાક $A$ અને $B$ અનુક્રમે ₹ $4$ અને ₹ $3$ પ્રતિ એકમના ભાવે ઉપલબ્ધ છે. જો $A$ ના એક એકમમાં $200$ એકમ વિટામિન,$1$ એકમ પ્રોટીન અને $40$ કેલરી હોય,જ્યારે ખોરાક $B$ ના એક એકમમાં $100$ એકમ વિટામિન,$2$ એકમ પ્રોટીન અને $40$ કેલરી હોય,તો આ સમસ્યાને એવી રીતે તૈયાર કરો કે જેથી આહાર સૌથી સસ્તો પડે.

આપેલ આકૃતિનો છાયાંકિત ભાગ શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ દર્શાવે છે. તો તેના અવરોધો કયા છે?

એક ફેક્ટરી ટેનિસ રેકેટ અને ક્રિકેટ બેટ બનાવે છે. એક ટેનિસ રેકેટ બનાવવા માટે $1.5 \text{ કલાક}$ મશીનનો સમય અને $3 \text{ કલાક}$ કારીગરનો સમય લાગે છે,જ્યારે એક ક્રિકેટ બેટ બનાવવા માટે $3 \text{ કલાક}$ મશીનનો સમય અને $1 \text{ કલાક}$ કારીગરનો સમય લાગે છે. એક દિવસમાં,ફેક્ટરી પાસે મશીનનો સમય $42 \text{ કલાક}$ થી વધુ અને કારીગરનો સમય $24 \text{ કલાક}$ થી વધુ ઉપલબ્ધ નથી. જો રેકેટ અને બેટ પરનો નફો અનુક્રમે $Rs. 20$ અને $Rs. 10$ હોય,તો જ્યારે ફેક્ટરી તેની સંપૂર્ણ ક્ષમતા પર કામ કરે ત્યારે મહત્તમ નફો શોધો.

રેખીય પ્રોગ્રામિંગ સમસ્યા ($L$.$P$.$P$.) માટે,$z = 4x_1 + 2x_2$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો,જ્યાં શરતો $3x_1 + 2x_2 \geq 9$,$x_1 - x_2 \leq 3$,$x_1 \geq 0$,$x_2 \geq 0$ છે. આ સમસ્યા માટે: