प्राकृत संख्याओं के समुच्चय mathbb{N} से पूर् | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f: \mathbb{N} 	o \mathbb{Z}$ इस प्रकार परिभाषित है:$f(n) = \begin{cases} \frac{n-1}{2}, & 	ext{यदि } n 	ext{ विषम है} \ -\frac{n

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एकैकी और आच्छादक दोनों

Vedclass · Answer

(C) दिया गया फलन $f: \mathbb{N} 	o \mathbb{Z}$ इस प्रकार परिभाषित है:$f(n) = \begin{cases} \frac{n-1}{2}, & 	ext{यदि } n 	ext{ विषम है} \ -\frac{n}{2}, & 	ext{यदि } n 	ext{ सम है} \end{cases}$आइए पहली कुछ प्राकृत संख्याओं के प्रतिबिंबों की गणना करें:$f(1) = \frac{1-1}{2} = 0$$f(2) = -\frac{2}{2} = -1$$f(3) = \frac{3-1}{2} = 1$$f(4) = -\frac{4}{2} = -2$$f(5) = \frac{5-1}{2} = 2$$f(6) = -\frac{6}{2} = -3$$1$. एकैकी जाँच: प्रत्येक भिन्न $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ के लिए,हमें $\mathbb{Z}$ में भिन्न प्रतिबिंब प्राप्त होते हैं। अतः,फलन एकैकी है।$2$. आच्छादक जाँच: फलन का परिसर $\{0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, \dots\}$ है,जो सभी पूर्णांकों का समुच्चय $\mathbb{Z}$ है। चूँकि परिसर सह-प्रांत के बराबर है,इसलिए फलन आच्छादक है।अतः,फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है।

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फलन $f: Z \rightarrow Z$ के लिए $f(x) = x^{2}$ द्वारा परिभाषित फलन की एकैकी (injectivity) और आच्छादक (surjectivity) की जाँच कीजिए।

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मान लीजिए $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार परिभाषित है कि $f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2}; & \text{यदि } n \text{ विषम है} \\ \frac{n}{2}; & \text{यदि } n \text{ सम है} \end{cases}$। तो $f$ है:

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