एक प्राचीन इमारत के अवशेषों से प्राप्त लकड़ी के एक टुकड़े में उसके कार्बन घटक के प्रति ग्राम $12$ विघटन प्रति मिनट की $^{14}C$ सक्रियता पाई गई। जीवित लकड़ी की $^{14}C$ सक्रियता $16$ विघटन प्रति मिनट प्रति ग्राम है। जिस पेड़ से यह लकड़ी का नमूना आया था,वह कितने समय पहले मर गया था? $^{14}C$ की अर्ध-आयु $5760$ वर्ष दी गई है।

एक रेडियोधर्मी नमूने की सक्रियता $t = 0$ पर $N_0$ काउंट प्रति मिनट और $t = 5$ मिनट पर $N_0/e$ काउंट प्रति मिनट मापी जाती है। वह समय (मिनट में) जिस पर सक्रियता अपने मान की आधी हो जाती है,है

यदि सभी स्वतंत्र राशियों में मापन त्रुटियां ज्ञात हैं,तो किसी भी आश्रित राशि में त्रुटि निर्धारित करना संभव है। यह श्रेणी विस्तार का उपयोग करके और त्रुटि की पहली घात पर विस्तार को काटकर किया जाता है। उदाहरण के लिए,संबंध $z = x / y$ पर विचार करें। यदि $x, y$ और $z$ में त्रुटियां क्रमशः $\Delta x, \Delta y$ और $\Delta z$ हैं,तो $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y}(1 \pm \frac{\Delta x}{x})(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$। $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ के लिए श्रेणी विस्तार,$\Delta y / y$ में पहली घात तक,$1 \mp(\Delta y / y)$ है। स्वतंत्र चरों में सापेक्ष त्रुटियां हमेशा जोड़ी जाती हैं। इसलिए $z$ में त्रुटि $\Delta z = z(\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ होगी। उपरोक्त व्युत्पत्ति यह मानती है कि $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$। इसलिए,इन राशियों की उच्च घातों की उपेक्षा की जाती है।
$(1)$ अनुपात $r = \frac{(1-a)}{(1+a)}$ पर विचार करें जिसे एक विमाहीन राशि $a$ को मापकर निर्धारित किया जाना है। यदि $a$ के मापन में त्रुटि $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ है,तो त्रुटि $\Delta r$ क्या है?
$(2)$ एक प्रयोग में,रेडियोधर्मी नाभिकों की प्रारंभिक संख्या $3000$ है। यह पाया गया है कि पहले $1.0 \ s$ में $1000 \pm 40$ नाभिक क्षयित हो गए। $|x| \ll 1$ के लिए,$\ln(1+x) \approx x$ है,$x$ की पहली घात तक। क्षय नियतांक $\lambda$ के निर्धारण में त्रुटि $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ में) क्या है?

दो रेडियोधर्मी पदार्थों $A$ और $B$ की अर्ध-आयु क्रमशः $20$ मिनट और $40$ मिनट है। प्रारंभ में,$A$ और $B$ के नमूनों में नाभिकों की संख्या समान है। $80$ मिनट के बाद,$A$ और $B$ के शेष नाभिकों की संख्या का अनुपात क्या है?

एक रेडियोधर्मी तत्व के $N$ परमाणु प्रति सेकंड $n$ संख्या में $\alpha$-कण उत्सर्जित करते हैं। सेकंड में तत्व का माध्य जीवनकाल (mean life) है:

${ }_{92}^{238} U$ अल्फा और बीटा कणों का उत्सर्जन करके ${ }_{82}^{206} Pb$ बनाने के लिए रेडियोधर्मी क्षय से गुजरता है। एक चट्टान में शुरू में $68 \times 10^{-6} \text{ g}$ ${ }_{92}^{238} U$ था। यदि तीन अर्ध-आयु में ${ }_{92}^{238} U$ से ${ }_{82}^{206} Pb$ के रेडियोधर्मी क्षय के दौरान उत्सर्जित अल्फा कणों की संख्या $Z \times 10^{18}$ है,तो $Z$ का मान क्या है?