एक अभाज्य संख्या p को विशेष कहा जाता है यदि अ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $p = p_1 + p_2 = p_3 - p_4$ जहाँ $p, p_1, p_2, p_3, p_4$ अभाज्य संख्याएँ हैं।स्थिति $I$: यदि $p_1, p_2, p_3, p_4$ सभी विषम हैं,तो $

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$1$

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(B) दिया गया है कि $p = p_1 + p_2 = p_3 - p_4$ जहाँ $p, p_1, p_2, p_3, p_4$ अभाज्य संख्याएँ हैं।स्थिति $I$: यदि $p_1, p_2, p_3, p_4$ सभी विषम हैं,तो $p_1 + p_2$ सम होगा,जिसका अर्थ है कि $p$ सम है। चूँकि $p$ अभाज्य है,$p = 2$ होगा। लेकिन $p_1 + p_2 = 2$ अभाज्य संख्याओं के लिए संभव नहीं है।स्थिति $II$: $p_1, p_2$ में से कम से कम एक $2$ होना चाहिए। मान लीजिए $p_2 = 2$ है। तो $p = p_1 + 2$। चूँकि $p$ और $p_1$ अभाज्य हैं,$p_1$ विषम होना चाहिए। यदि $p_1$ विषम है,तो $p$ भी विषम होगा।$p = p_3 - p_4$ से,$p_3 = p + p_4$। चूँकि $p$ विषम है,$p_3$ के अभाज्य होने के लिए $p_4 = 2$ होना आवश्यक है।इस प्रकार,$p = p_1 + 2$ और $p = p_3 - 2$,जिसका अर्थ है $p_3 = p + 2$ और $p_1 = p - 2$।हमें $p-2, p, p+2$ तीनों को अभाज्य होना चाहिए। इस प्रकार की एकमात्र अभाज्य त्रयी $(3, 5, 7)$ है।अतः,$p = 5$ एकमात्र समाधान है।विशेष अभाज्य संख्याओं की संख्या $1$ है।

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