एक दीर्घवृत्त,अतिपरवलय 2x^2 - 2y^2 = 1 को लंब | vedclass

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Question

(D) दिया गया अतिपरवलय: $2x^2 - 2y^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{1/2} = 1$.यहाँ,$a^2 = 1/2, b^2 = 1/2$. उत्केंद्रता $e_h = \sqrt{1 + \

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$(A, B)$

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(D) दिया गया अतिपरवलय: $2x^2 - 2y^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{1/2} - \frac{y^2}{1/2} = 1$.यहाँ,$a^2 = 1/2, b^2 = 1/2$. उत्केंद्रता $e_h = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e = \frac{1}{e_h} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। चूँकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a^2 = 2b^2$.दीर्घवृत्त का समीकरण: $x^2 + 2y^2 = 2b^2$.लंबकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_0, y_0)$ पर स्पर्श रेखाओं के ढाल का गुणनफल $-1$ होता है।अतिपरवलय के लिए: $4x - 4y y' = 0 \Rightarrow y' = \frac{x}{y}$.दीर्घवृत्त के लिए: $2x + 4y y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{2y}$.गुणनफल: $(\frac{x_0}{y_0})(-\frac{x_0}{2y_0}) = -1 \Rightarrow x_0^2 = 2y_0^2$.$x_0^2 = 2y_0^2$ को अतिपरवलय के समीकरण में रखने पर: $2(2y_0^2) - 2y_0^2 = 1$ $\Rightarrow 2y_0^2 = 1$ $\Rightarrow y_0^2 = 1/2$ और $x_0^2 = 1$.$(x_0^2, y_0^2) = (1, 1/2)$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $1 + 2(1/2) = 2b^2$ $\Rightarrow 2b^2 = 2$ $\Rightarrow b^2 = 1$.अतः,$a^2 = 2(1) = 2$. समीकरण $x^2 + 2y^2 = 2$ है।नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}, 0) = (\pm 1, 0)$ हैं।इसलिए,विकल्प $(A)$ और $(B)$ सही हैं।

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