નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}x+4 & 2x & 2x \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|=(5x+4)(4-x)^{2}$

(A) ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+4 & 2x & 2x \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
હાર પ્રક્રિયા $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ લાગુ કરતા,આપણને મળે છે:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}5x+4 & 5x+4 & 5x+4 \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
$R_{1}$ માંથી $(5x+4)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (5x+4) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ અને $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ લાગુ કરતા:
$\Delta = (5x+4) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2x & 4-x & 0 \\ 2x & 0 & 4-x\end{array}\right|$.
$C_{2}$ અને $C_{3}$ માંથી $(4-x)$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = (5x+4)(4-x)(4-x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2x & 1 & 0 \\ 2x & 0 & 1\end{array}\right|$.
$R_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = (5x+4)(4-x)^{2} [1(1-0)] = (5x+4)(4-x)^{2}$.
આમ,પરિણામ સાબિત થાય છે.