सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}x+4 & 2x & 2x \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|=(5x+4)(4-x)^{2}$
$\left|\begin{array}{ccc}x+4 & 2x & 2x \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|=(5x+4)(4-x)^{2}$
(A) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x+4 & 2x & 2x \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}5x+4 & 5x+4 & 5x+4 \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
$R_{1}$ से $(5x+4)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (5x+4) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = (5x+4) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2x & 4-x & 0 \\ 2x & 0 & 4-x\end{array}\right|$.
$C_{2}$ और $C_{3}$ से $(4-x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (5x+4)(4-x)(4-x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2x & 1 & 0 \\ 2x & 0 & 1\end{array}\right|$.
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (5x+4)(4-x)^{2} [1(1-0)] = (5x+4)(4-x)^{2}$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।
पंक्ति संक्रिया $R_{1} \rightarrow R_{1} + R_{2} + R_{3}$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}5x+4 & 5x+4 & 5x+4 \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
$R_{1}$ से $(5x+4)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (5x+4) \left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 2x & x+4 & 2x \\ 2x & 2x & x+4\end{array}\right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_{2} \rightarrow C_{2} - C_{1}$ और $C_{3} \rightarrow C_{3} - C_{1}$ लागू करने पर:
$\Delta = (5x+4) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2x & 4-x & 0 \\ 2x & 0 & 4-x\end{array}\right|$.
$C_{2}$ और $C_{3}$ से $(4-x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (5x+4)(4-x)(4-x) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2x & 1 & 0 \\ 2x & 0 & 1\end{array}\right|$.
$R_{1}$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (5x+4)(4-x)^{2} [1(1-0)] = (5x+4)(4-x)^{2}$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।
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सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}1+a^{2}-b^{2} & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^{2}+b^{2} & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^{2}-b^{2}\end{array}\right|=\left(1+a^{2}+b^{2}\right)^{3}$
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DifficultAP EAMCET 2010
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